خش اومی
 Pictures of Albert Einstein

The oldest picture Patent clerk 1920 1912
1931 Radio talk Barcelona, 1923 Berlin 1922
Haberlandstraße
Berlin
Berlin Santa Barbara, 1933
(1)
 
Violin, 1929 Violin, 1941   Princeton
Vacation Sailing early 1940s Princeton,1937
At the blackboard   Princeton Winter
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه شانزدهم اسفند 1385  |
 سیاه چاله چیست؟

به طور مختصر، سیاه چاله قسمتی از فضاست که جرم بسیار زیادی در آن متمرکز شده است و هیچ جرمی در مجاورت آن  نمی تواند از گرانش آن بگریزد. در حال حاضر بهترین نظریه در مورد گرانش، نظریه ی نسبیت عام اینشتین است. ما نیز برای درک بهتر جزئیات سیاه چاله ها باید به برخی نتایج نسبیت عام رجوع کنیم. اما بیایید با تفکر در مورد گرانش در محیط های عادی و در سطوح ساده شروع کنیم.

فرض کنید که بر روی سطح یک سیاره ایستاده اید و یک سنگی را به بالا پرتاب می کنید. فرض کنید که آن را زیاد پر قدرت پرتاب نکرده اید. سنگ برای مدت کوتاهی به بالا حرکت می کند، اما پس از مدتی شتاب گرانش سیاره آن را مجبور به سقوط می کند. اگر شما سنگ را آنچنان پر قدرت پرتاب کنید که از گرانش سیاره کاملا رها شود، برای همیشه به بالا رفتن خود ادامه می دهد. سرعتی که شما نیاز دارید تا به سنگ بدهید و از گرانش سیاره رهایش کنید سرعت گریز نامیده می شود. همان طور که می دانید سرعت گریز سیاره به جرم آن بستگی دارد. اگر سیاره چگال باشد، گرانش آن بسیار قوی خواهد بود، و سرعت گریز بالا می رود. اما یک سیاره ی سبکتر سرعت گریز کمی خواهد داشت. سرعت گریز همچنین به فاصله از مرکز سیاره نیز بستگی دارد. هر چقدر که به مرکز سیاره نزدیکتر باشید سرعت گریز شما بیشتر خواهد شد. سرعت گریز زمین 11.2 کیلومتر بر ثانیه است. در حالی که سرعت گریز ماه فقط 2.4 کیلومتر بر ثانیه است.

حال قسمتی از فضا را در نظر بگیرید که حاصل تمرکز عظیمی از جرم با شعاع کم است که سرعت گریز آن بالاتر از سرعت نور است. در حالی که هیچ چیز نمی تواند بالاتر از سرعت نور حرکت کند، هیچ چیزی نمی تواند از گرانش آن بگریزد. حتی یک باریکه ی نور نیز نخواهد توانست از گرانش آن بگریزد و به سوی آن برمیگردد.

ایده ی چنین تمرکز جرمی که آنقدر چگال باشد که حتی نور در آن گیر بیفتد مربوط به لاپلاس در قرن 18 می باشد. در حقیقت بلافاصله بعد از اینکه اینشتین نسبیت عام خود را بسط داد کارل شوارتز شیلد راه حلی ریاضی را که مربوط به معادله ی نظریه ای که این جرم را توضیح می داد کشف کرد. کمی بعد تلاش افرادی چون Oppenheimer، Volkoff و Synder در سال 1930 بود که باعث شد مردم جدی تر در مورد امکان وجود چنین جرمی در عالم فکر کنند. این تحقیقات نشان می دهد که موقعی که یک ستاره ی چگال سوخت خود را تمام می کند نمی تواند خود را در مقابل گرانش خود حفظ کرده به یک سیاه چاله تبدیل می شود.

در نسبیت عام، گرانش باعث ایجاد خمیدگی در فضا – زمان می شود. اجرام چگال باعث ایجاد خمیدگی در فضا و زمان می شوند. بنابراین قوانین معمولی هندسه را در این موارد نمیتوان به کار برد. در کنار یک سیاه چاله این خمیدگی فضا به مراتب بیشتر است و همین باعث می شود که سیاه چاله خواص عجیبی داشته باشد. یک سیاه چاله چیزی دارد که به خط افق اتفاق (event horizon) مشهور است. این سطحی کروی شکلی است که مرز سیاه چاله را تعیین می کند. شما می توانید وارد آن شوید اما دیگر نمی توانید برگردید. به محض اینکه وارد افق شوید محکوم به نزدیک شدن به مرکز سیاه چاله بدون هیچ توقفی خواهید بود.

می توان گفت که خط افق جایی است که در آن سرعت گریز برابر سرعت نور است. بیرون از افق سرعت گریز کمتر از سرعت نور خواهد بود. پس اگر شما موشک های خود را به سختی به کار بگیرید می توانید از آن رها شوید. اما اگر داخل افق باشید هر چقدر هم که موشک های شما قوی باشند نمیتوانید از آن بگریزید.

خط افق خواص هندسی عجیبی دارد. برای مشاهده کننده ای که جایی دور از سیاه چاله نشسته، خط افق مانند یک کره ی بسیار زیبا و ساکن و بدون هیچ حرکتی جلوه می کند. اما هنگامی که به آن نزدیکتر می شوید در می یابید که سرعت بسیار زیادی دارد. در حقیقت این افق با سرعتی برابر سرعت نور به بیرون حرکت می کند. این بیان می کند که چرا ورود به افق بسیار آسان است. اما خروج از آن ممکن نیست. در حالی که افق با سرعت نور به خارج حرکت می کند برای خارج شدن از آن باید با سرعتی بیشتر از سرعت نور حرکت کرد. اما چون نمیتوان بیش از سرعت نور حرکت کرد پس نمیتوان از آن خارج شد.

هنگامی که شما در افق هستید، فضا- زمان آنقدر منحرف می شود تا جایی که مختصاتی که فاصله ی شعاعی شما را نشان می دهد با زمان تغییر وظیفه می دهد. همان r که نشان می دهد چقدر از مرکز فاصله دارید مثل زمان کار خواهد کرد. یک پیامد آن این است که شما نمی توانید از نزدیک شدن به مرکز جلوگیری کنید. همانطور که در دنیای عادی نمی توانید جلوی آمدن آینده ی خود را بگیرید. (با این تفاوت که در سیاه چاله r کمتر می شود یعنی فاصله ی شما از مرکز کمتر می شود و در دنیای عادی t یا زمان زیاد تر می شود.) در حقیقت شما مجبورید که به مرکز یا r = 0 بروید . شاید سعی کنید که با روشن کردن موشک های خود ای کار را انجام بدهید اما این کار نیز بی فایده است: به هر طرف که بدوید نمی توانید از آمدن آینده ی خود جلوگیری کنید. تلاش برای برگشت بعد از وارد شدن به افق مانند تلاش برای جلوگیری از آمدن پنجشنبه ی بعد خواهد بود.  

|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه شانزدهم اسفند 1385  |
 دما

تعریف علمی دما
دمای یک سیستم ویژگی است که تعیین می‌کند آیا یک سیستم با سیستم‌های دیگر در تعادل گرمایی قرار دارد یا خیر.

یک آزمایش ساده
دو ظرف یکسان انتخاب کرده ، در یکی آب گرم و در دیگری آب سرد بریزید. حال یک دست خود را در آب گرم و دست دیگر را در آب سرد فرو برید. حال هر دو دست را در آب نیم‌گرم وارد کنید. احساس شما چیست؟

قطعا دستی که ابتدا در آب گرم بوده است، آب نیمگرم را سردتر و دست دیگر آن را گرمتر احساس خواهد کرد. بنابراین با این آزمایش ساده می‌توان نتیجه گرفت که قضاوت ما در مورد دما می‌تواند نسبتا گمراه کننده باشد. علاوه بر این گستره حس دمایی ما محدود است. از یک معیار معینی و عددی برای تعیین دما نیاز داریم.


دماسنج‌های اولیه
نخستین وسیله واقعی علمی برای اندازه‌ گیری دما در سال 1592 توسط گالیله اختراع شد. وی برای این منظور یک بطری شیشه‌ای گردن باریک انتخاب کرده بود. بطری با آب رنگین تا نیمه پر شده ، و وارونه در یک ظرف محتوی آب رنگین قرار گرفته بود. با تغییر دما هوای محتوی شکم بطری منبسط یا منقبض می‌شد، و ستون آب در گردن بطری بالا یا پایین می‌رفت. وسیله گالیله توجه نداشت که مقیاس برای سنجش دما به کار برد، به طوری که وسیله وی بیشتر جنبه دما نما داشت تا جنبه دماسنج.

در سال 1635 درک فردیناند توسکانی ، که به علوم علاقه‌مند بود، دماسنجی ساخت که درآن از الکل استفاده کرد، و سر لوله را چنان محکم بست که الکل نتواند تبخیر شود. سرانجام ، در سال 1640 دانشمند آکادمی لینچی ، در ایتالیا ، نمونه‌ای از دماسنج‌های جدیدی را ساختند که در آن جیوه به کار برده و هوا را ، دست کم تا حدودی ، از قسمت بالای لوله بسته خارج کرده بودند. توجه به این نکته جالب است که در حدود نیم قرن طول کشید تا دماسنج کاملا تکامل یافت، و حال آنکه میان کشف امواج الکترومغناطیسی و ساختن نخستین تلگراف بی‌سیم ، یا میان کشف اورانیوم و نخستین بمب اتمی چند سالی بیشتر طول نکشید.

اندازه‌ گیری دما
برای تعیین یک مقیاس تجربی دما ، سیستمی با مختصات xy را به عنوان استاندارد ، که ما آن را دماسنج می‌نامیم، انتخاب می‌کنیم و مجموعه قواعدی را برای نسبت دادن یک مقدار عددی به دمای وابسته به کدام از منحنیهای همدمای آن ، اختیار می‌کنیم. به هر سیستم دیگری که با دماسنج در تعادل گرمایی باشد، همین عدد را برای دما نسبت می‌دهیم.

قوانین گازها
همان وقت که اسحاق نیوتن در کمبریج درباره نور و جاذبه می‌اندیشید، یک نفر انگلیسی دیگر به نام رابرت بویل ، در آکسفورد سرگرم مطالعه در باب خواص مکانیکی و تراکم پذیری هوا و سایر گازها بود. بویل که خبر اختراع گلوله سربی اوتوفون گریکه را شنیده بود، طرح خویش را تکمیل کرد، و دست به کار آزمایشهایی برای اندازه ‌گیری حجم هوا در فشار کم و زیاد شد. نتیجه کارهای وی چیزی است که اکنون به قانون بویل ماریوت معروف است، و بیان می‌کند که حجم مقدار معینی از هر گاز در دمای معین با فشاری که بر آن گاز وارد می‌شود، بطور معکوس ، متناسب است با فشاری که بر آن گاز وارد می‌شود.

حدود یک قرن بعد ، ژوزف گیلوساک فرانسوی ، در ضمن مطالعه انبساط گازها ، قانون مهم دیگری پیدا کرد که بیان آن این است: فشار هر گاز محتوی در حجم معین به ازای هر یک درجه سانتیگراد افزایش دما ، به اندازه 273/1 حجم اولیه‌اش افزایش می‌یابد. همین قانون را یک فرانسوی دیگر به نام ژاک شارل ، دو سال پیش از آن کشف کرده بود. و از این رو اغلب آن را قانون شارل گیلوساک می‌نامند. این دو قانون مبنای ساخت دماسنجهای گازی قرار گرفت.

انواع دماسنجها:

دماسنج گازی:
جنس ، ساختمان ، و ابعاد دماسنج در ادارات و موسسات مختلف سراسر دنیا که این دستگاه را به کار می‌برند. تفاوت دارد و به طبیعت گاز و گستره دمایی که دماسنج برای آن در نظر گرفته شده است، بستگی دارد. این دماسنج شامل حبابی از جنس شیشه ، چینی ، کوارتز ، پلاتین یا پلاتین ـ ایریدیم ( بسته به گستره دمایی که دماسنج در آن به کار می‌رود ) ، که به وسیله یک لوله موئین به فشارسنج جیوه‌ای متصل است. این دماسنج براساس دو قانون ذکر شده در مورد گاز کامل کار می‌کند.


دماسنج با مقاومت الکتریکی:
دماسنج مقاومتی به صورت یک سیم بلند و ظریف است، معمولا آن را به دور یک قاب نازک می‌پیچند تا از فشار ناشی از تغییر طول سیم که در اثر انقباض آن در موقع سرد شدن پیش می‌آید، جلوگیری کند. در شرایط ویژه می‌توان سیم را به دور جسمی که منظور اندازه گیری دمای آن است پیچید یا در داخل آن قرار داد. در گستره دمای خیلی پایین ، ( دماسنجهای مقاومتی معمولا از مقاومتهای کوچک رادیویی باترکیب کربن یا بلور ژرمانیوم که ناخالصی آن آرسنیک است و جسم حاصل در درون یک کپسول مسدود شده پر از هلیوم قرار دارد، تشکیل می‌شوند. این دماسنج را می‌توان بر روی سطح جسمی که منظور اندازه گیری دمای آن است سوار کرد یا در حفرهای که برای این منظور ایجاد شده است، قرار داد. دماسنج مقاومتی پلاتین را می‌توان برای کارهای خیلی دقیق در گستره –253 تا 1200 درجه سانتیگراد به کار برد.
ترموکوپل
ترموکوپل وسیله دیگری است که برای اندازه‌ گیری دما مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این نوع دماسنج از خاصیت انبساط و انقباض اجسام جامد استفاده می‌گردد. گستره یک ترموکوپل بستگی به موادی دارد که ترموکوپل از آن ساخته شده است. گستره یک ترموکوپل پلاتنیوم ـ رودیوم که 10 درصد پلاتینیوم دراد از صفر تا C 1600 است. مزیت ترموکوپل در این است که بخاطر جرم کوچک ، خیلی سریع با سیستمی که اندازه‌ گیری دمای آن مورد نظر است، به حال تعادل گرمایی در می‌آید. لذا تغییرات دما به آسانی بر آن اثر می‌کند، ولی دقت دماسنج مقاومتی پلاتین را ندارد.

واحد اندازه‌ گیری دما

کلوین :
کلوین مقیاس بنیادی دما در علوم است که سایر مقیاسها بر حسب آن تعریف می‌شوند.


سلیسیوس یا سانتیگراد:
مقیاس سلیسیوس بر اساس نقطه سه گانه آبمی‌باشد. اگر T نشان دهند. دمای سلسیوس و T نشان میدهند. دمای کلوین باشد در اینصورت داریم: 273.15


فارنهایت:
این مقیاس هنوز هم در بعضی از کشورهای انگلیسی زبان به کار می‌رود و در کارهای علمی استفاده نشود رابطه مقیاس فارنهایت و سلسیوس به صورت زیر است: 32 + =T
 
 


 

+ نوشته شده در  پنجشنبه بیست و هشتم دی 1385ساعت 12:0  توسط کورش  |  نظر بدهید
|+| نوشته شده توسط البرت در شنبه پنجم اسفند 1385  |
 فنر
imageimage
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 حرکت دورانی

حرکت دورانی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > سینماتیک حرکت
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > مکانیک تحلیلی
(cached)

یکی از حرکتهای مهم ، حرکت دورانی است. نمونه‌های بسیاری از این نوع حرکت را هر روز مشاهده می‌‌کنیم. چرخش زمین به دور محور خود نمونه‌ای از حرکت دورانی است. باید توجه داشته باشیم که حرکت بر روی مسیر دایره‌ای ، با دوران یک جسم به دور یک محور تفاوت دارد. هر حرکت دورانی با محور دوران و زاویه دوران مشخص می‌‌شود. زاویه دوران در سرعت زاویه‌ای جسم لحاظ می‌‌شود.

دید کلی

آیا تاکنون چرخی را به حرکت در آورده‌اید؟ چرخ بعد از دوران بالاخره در کجا متوقف می‌شود؟ وقتی چرخ حول یک محور ثابت می‌چرخد، از موقعیت خود خارج نمی‌شود، در این وضعیت چرخ در حالت تعادل انتقالی است، زیرا نیرویی که شما به چرخ وارد کرده با پس زدن کشسانی محور خنثی شده است. نیرویی که شما به چرخ وارد کرده‌اید چرخ را به دوران در آورده است اما آن را جابجا نکرده است. اگر نیروی اصطکاک روی چرخ اثر نمی‌کرد، برای همیشه در حالت دروان باقی می‌ماند. تنها چیزی که باعث کند شدن چرخ و در نهایت توقف چرخ می‌شود اصطکاک محور است. هر جسمی که با سرعت زاویه‌ای ثابت بچرخد در حالت تعادل چرخش است و تا زمانی که چیزی روی آن اثر نکند به چرخش خود ادامه خواهد داد. زمین چندین میلیارد سال است که حول محور خود می‌چرخد و سالها پیش از آن که من و شما فراموش شویم به این کار ادامه خواهد داد.



تصویر

سینماتیک دورانی

جسم صلبی را در نظر بگیرید که حول محوری که بر سطح این جسم عمود است، دوران می‌‌کند. برای سادگی فرض می‌‌کنیم که محور دوران ثابت می‌‌باشد. اگر محل ذره‌ای بر روی جسم در چارچوب مرجع ما معلوم باشد، می‌‌توانیم وضعیت تمامی ‌جسم در حال دوران را در این چارچوب مرجع مشخص کنیم. لذا برای سینماتیک این مسئله ، کافی است که فقط حرکت یک ذره بر روی یک دایره را در نظر بگیریم. اندازه دوران در هر لحظه به وسیله زاویه θ ، زاویه‌ای که موضع زاویه‌ای ذره نسبت به موضع اولیه می‌‌سازد، تعیین می‌‌شود. لذا اگر جهت دوران پاد ساعتگرد را مثبت اختیار کنیم، در نتیجه θ هنگام دوران پاد ساعتگرد افزایش و هنگام دوران ساعتگرد کاهش پیدا می‌‌کند.

دوران جسم صلب

یک جسم صلب جسمی است که شکلش کاملا مشخص است و تغییر نمی‌کند. حرکت دورانی یک جسم صلب ممکن است بدون انتقال باشد، مانند حرکت چرخ ماشین و ممکن است همراه با حرکت انتقالی باشد، مانند حرکت زمین و ماه در فضا و یک گلوله بر روی یک سطح. دو جرم مختلف M1 و M2 که به دو سر میله‌ای نصب شده‌اند و دستگاه حول محور قائم که از نقطه گرانیگاه می‌گذرد در سطح افقی می‌چرخد. حرکت آن منظم است، بدیهی است که اگر دستگاه حول محوری که از گرانیگاه نمی‌گذرد (مثلا حول محوری که از وسط میله می‌گذرد) بچرخد نظم حرکت بهم می‌خورد و به اصطلاح لنگی پیدا می‌کند.

گشتاور نیرو

گشتاور نیرو عاملی است که سبب چرخش جسمی حول یک محور می‌شود، گشتاور نیرو برداری است. اگر اثر آن در خلاف جهت حرکت عقربه ساعت باشد گشتاور مثبت و اگر در جهت حرکت عقربه ساعت باشد گشتاور منفی است. واحد گشتاور نیرو نیوتن است و با ابعاد کار و انرژی یکی است.


فاصله نقطه‌ای واقع بر محور دوران تا نقطه اثر نیرو و نیروی وارده است:

سرعت زاویه‌ای ω

آهنگ تغییرات جابه‌جایی زاویه‌ای ذره (θ) نسبت به زمان به عنوان سرعت زاویه‌ای متوسط تعریف می‌‌شود. در واقع اگر تغییرات زاویه‌ای را با θ∆ و مدت زمان این تغییر را با t∆ نشان دهیم، در این صورت سرعت زاویه‌ای با نسبت θ/∆t∆ برابر است. حال اگر چنانکه از این عبارت هنگامی ‌که t∆ به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم کمیت حاصل سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای خواهد بود. با توجه به تعریف مشتق در واقع می‌‌توان گفت که سرعت زاویه‌ای با مشتق زمانی جابجایی زاویه‌ای θ برابر است. یکای سرعت زاویه‌ای عکس یکای زمان است و معمولا یکاهای آن را رادیان بر ثانیه یا دور بر ثانیه انتخاب می‌‌کنند.

شتاب زاویه‌ای α

اگر سرعت زاویه‌ای تغییر بکند، این تغییر سبب ایجاد شتاب می‌‌گردد. این شتاب ، شتاب زاویه‌ای نام دارد. اگر و به ترتیب سرعتهای زاویه‌ای لحظه‌ای در زمانهای و باشند، در این صورت شتاب زاویه‌ای متوسط که با \bar α نشان می‌‌دهیم، به صورت زیر خواهد بود:



حال اگر از این عبارت هنگامی که t∆ به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم، در این صورت کمیت حاصل را شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای می‌گویند. چون سرعت زاویه‌ای (ω) برای تمام ذرات جسم صلب یکسان است، لذا شتاب زاویه‌ای (α) نیز برای تمام ذرات یکسان خواهد بود. یکای شتاب زاویه‌ای عکس مجذور زمان است و یکاهای آن را معمولا رادیان بر مجذور ثانیه یا دور بر مجذور ثانیه تعریف می‌‌کنند.

زاویه کل چرخش

زاویه کل چرخش یک جسم دوار در زمان معین t به کمک سرعت زاویه‌ای متوسط محاسبه می‌شود، سرعت زاویه‌ای متوسط از رابطه w=(w + w0)/2 بدست می‌آید که زاویه‌ پیموده شده θ = w - t است. در نتیجه:

E=1/2αt2 + w0t نظیر رابطه در حرکت مستقیم الخط است.



تصویر

دینامیک دورانی

وقتی بر یک جسم صلب که می‌تواند حول یک محور ثابت بچرخد گشتاور نیروی معینی اثر کند، جسم شتاب می‌گیرد و سرعت زاویه‌ای آن مرتبا افزایش پیدا می‌کند. جرم کوچک m را که به سرنخی بسته شده است این جسم در اثر گشتاور نیروی که بر صفحه عمود است می‌چرخد و بنا به قاونون دوم نیوتن ، با مقایسه این دو رابطه گشتاور ماند جرم m نسبت به محور دوران بدست می‌آید، نقش گشتاور ماند در حرکت دورانی نظیر نقش m در حرکت خطی است.

انرژی جنبشی دورانی

انرژی جنبشی کل یک جسم صلب که با سرعت زاویه‌ای w حول یک محور ثابت می‌چرخد مساوی با مجموع انرژی جنبشی تمام ذراتی است که این جسم را تشکیل می‌دهند. وقتی گلوله‌ای یا حلقه‌ای روی سطح می‌غلتد انرژی جنبشی کل آن مساوی با مجموع دو انرژی جنبشی دورانی و انتقالی است. زیرا جسم هم به دور مرکز تقارن هندسی خود می‌چرخد و هم این مرکز تقارن در راستای یک خط دارای حرکت انتقالی است.


E = 1/2Iw2 + 1/2mv2

حرکت دورانی یکنواخت

اگر متحرکی بر روی یک دایره ، قوسهای مساوی را در زمانهای مساوی طی کند حرکتش دورانی یکنواخت است. این حرکت ساده‌ترین حرکت دو بعدی است و در عین حال چون حرکت متحرک در زمانهای مساوی بدون کوچکترین تغییری تکرار می‌شود ساده‌ترین حرکت تناوبی هست.

سرعت خطی

اندازه قوس طی شده در هر ثانیه سرعت خطی نامیده می‌شود، سرعت خطی اندازه ثابت بردار سرعت متحرک است که امتداد آن در هر لحظه مماس بر مسیر است و جهت آن همان جهت دوران است، بنابراین سرعت خطی از نظر راستا و جهت دائما در حال تغییر است.

فاز در حرکت تناوبی

فاز عبارت است از زاویه مشخص کننده مکان متحرک بر روی مسیر نسبت به مبدا مکان در هر لحظه ، فاز را با θ نشان می‌دهیم و برحسب رادیان بیان می‌کنیم، فاز در سه حالت بررسی می‌شود.


  • حرکت متحرک در مبدا زمان در مبدا مکان قرار داشته باشد اندازه فاز θ = wt است.

  • هر گاه متحرک در مبدا زمان در نقطه‌ای باشد که شعاع حامل با شعاع حامل مبدا مکان یک زاویه مثبت θ0 بسازد فاز برابر θ= wt + θ0 است. θ0 اندازه فاز در مبدا زمان (فاز اولیه) است. در این حالت می‌گویند متحرک به اندازه θ0 تقدم فاز دارد.

  • هر گاه متحرک در مبدا زمان در نقطه‌ای باشد که شامل حامل با شعاع مبدا ، مکان یک زاویه منفی θ0- بسازد فاز برابر است با θ=wt - θ0 ، در این حالت می‌گویند متحرک به اندازه θ0 تأخیر فاز دارد. تفاوت بین مقادیر فاز در دو حرکت تناوبی اختلاف فاز نامیده می‌شود.



تصویر

معادله حرکت دورانی یکنواخت

اگر مسافت طی شده در هر یک از سه حالت را با S نشان دهیم S= Rθ معادله حرکت دورانی است، در واقع چون مسافت S متناظر با فاز θ است. و با آن نسبت مستقیم دارد، می‌توان هر یک از روابط فاز را در حالت خود معادله این حرکت دانست.

نیروی جانب مرکز

در حرکت دورانی یکنواخت به علت تغییر جهت سرعت و شتاب بوجود می‌آید که راستای آن را در هر لحظه بر شعاع حامل متحرک منطبق و جهت آن همواره متوجه مرکز دایره است. این شتاب را در قلاب سنگ ، کشش ریسمان ، در حرکت ماه به دور زمین نیروی جاذبه زمین بر ماه و در حرکت دایره‌ای اتومبیل در سطح افقی نیروی اصطکاک میان چرخها و زمین بوجود می‌آورد. در تمام این حالتها نیروی بوجود آورنده این شتاب را نیروی جانب مرکز می‌نامند.

مقایسه حرکت دورانی حول محور ثابت و حرکت انتقالی

دوران ذره (یا جسم صلب) حول یک محور ثابت با حرکت انتقالی ذره (یا جسم صلب) در یک امتداد ثابت هم‌خوانی صوری دارد. متغیرهای سینماتیک در حالت اول θ (جابجایی زاویه‌ای) ، ω (سرعت زاویه‌ای) و α (شتاب زاویه‌ای) هستند، اما در حالت دوم x (جابه‌جایی خطی) ، v شتاب خطی) هستند. این کمیتها دو به دو متناظرند. البته اینها از لحاظ یکا با هم اختلاف دارند. هرگاه در حرکت انتقالی محدودیت مربوط به حرکت در امتداد خط راست را حذف کنیم و حالت کلی حرکت سه بعدی را بر روی مسیر منحنی در نظر بگیریم، متغیرهای خطی a ، v ، x به صورت مولفه‌های اسکالر بردارهای سینماتیکی ظاهر می‌‌شوند، اما در صورت حذف محدودیت دوران حول محور ثابت ، متغیرهای سینماتیک دوران به این سادگی به بردار تبدیل نمی‌‌شوند.

با استفاده از تناظری که اشاره شد، به راحتی می‌‌توان معادلات حرکت را در حرکت دورانی حول یک محور ثابت بدست آورد. فقط کافی است متغیرهای سینماتیکی حرکت انتقالی در امتداد ثابت را با متغییرهای سینماتیکی حرکت دورانی جایگزین کنیم.

نمایش برداری کمیتهای دورانی

جابجایی ، سرعت و شتاب خطی کمیتهای برداری هستند. کمیتهای زاویه‌ای متناظر آنها نیز می‌‌توانند بردار باشند، چون علاوه بر بزرگی باید جهتی نیز برای آنها در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت نمی‌‌توان گفت که کمیتهای α ، ω ، θ باز هم حالت اسکالر دارند، اما نمی‌‌توانیم این کمیتها را بردار تصور کنیم. به عنوان مثال ، جابجایی زاویه‌ای θ نمی‌‌تواند بردار باشد، چون به صورت برداری با هم جمع نمی‌‌شوند. از ریاضیات می‌‌دانیم که حاصل جمع دو بردار خاصیت جابجایی دارد، یعنی وقتی که دو بردار A و B را باهم جمع می‌‌کنیم، فرقی ندارد که A + B بنویسیم یا B + A. در صورتی که در مورد θ که زاویه دوران است، چنین نیست، اما اگر جابجایی زاویه‌ای بینهایت کوچک باشد، می‌‌توان آن را برداری در نظر گرفت.

رابطه سینماتیک خطی و زاویه‌ای

هرگاه جسم صلبی حول یک محور ثابت بچرخد، هر ذره از آن بر روی یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌‌کند. لذا می‌‌توانیم حرکت این ذره را با متغیرهای خطی یا متغیرهای زاویه‌ای توصیف کنیم. با استفاده از رابطه میان متغیرهای خطی و زاویه‌ای می‌‌توانیم از توصیف یکی توصیف دیگری را نتیجه بگیریم و اگر سرعت خطی را با v و سرعت زاویه‌ای را با ω و فاصله نقطه مورد نظر از جسم صلب از محور دوران را با r نشان دهیم. در این صورت v = ω r خواهد بود. در حرکت دایره‌ای دو نوع شتاب می‌‌تواند وجود داشته باشد. یکی شتاب مماسی است که از تغییر سرعت خطی v حاصل می‌‌شود و دیگری شتاب زاویه‌ای است که از تغییرات سرعت زاویه‌ای ω بوجود می‌‌آید.

حرکت دورانی حول محوری که حرکت انتقالی دارد.

دوران حول یک محور ثابت حالت خاصی از حرکت دورانی است، اما اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت شرایط فرق می‌‌کند. به عنوان مثال ، استوانه‌ای که بر روی یک سطح افقی می‌‌غلتد، نمونه‌ای از این نوع حرکت است. حرکت غلتان این جسم را می‌‌توان ترکیبی از حرکتهای انتقالی و دورانی در نظر گرفت. در مورد استوانه در هر لحظه نقطه تماس استوانه و سطح در حال حرکت است، چون جسم نمی‌‌لغزد. بنابراین در این حالت می‌‌توان حرکت را ترکیب حرکت انتقالی مرکز جرم و حرکت دورانی حول محوری که از مرکز جرم می‌‌گذرد، دانست که هم ارز است با یک حرکت دورانی محض با همان سرعت زاویه‌ای حول محوری که از نقطه تماس جسم غلتان می‌‌گذرد.

دوران جسم صلب حول محور دلخواه

در کلی‌ترین حالت دوران جسم صلب حول محوری که ثابت نبوده و حرکت دورانی دارد، مورد بحث قرار می‌‌گیرد. در این حالت برای بررسی حرکت جسم صلب به صورت زیر عمل می‌‌کنیم:

دو سیستم مختصات که یکی در خارج از جسم ثابت بوده و دیگری در روی جسم صلب قرار داشته و به همراه آن می‌‌چرخد، در نظر می‌‌گیریم. سیستم مختصات متصل به جسم را با پریم مشخص می‌‌کنیم. در این صورت سه محور چارچوب ثابت و چارچوب متصل به جسم با هم زاویه می‌‌سازد که این زوایا را زوایای اویلر می‌‌گویند. به بیان دیگر ، می‌‌توان گفت که با سه دوران پی‌درپی به اندازه این زاویه‌ها دو چارچوب پریم‌دار و بدون پریم بر هم منطبق می‌‌شوند.

بنابراین چارچوب برای نشان دادن جهت گیری جسم صلب در فضا نسبت به چارچوب ساکن در نظر گرفته می‌‌شود، اما در مورد جسم صلب می‌‌توان سه محور عمود بر هم چنان انتخاب کرد که حاصلضرب ممانهای اینرسی صفر شوند. لازم به توضیح است ممان اینرسی جسم صلب ، در حالت کلی ، به صورت یک ماتریس خواهد بود که اعضای قطر اصلی ، ممان اینرسی اصلی و سایر عناصر را حاصل‌ضرب ممانهای اینرسی می‌‌گویند. بنابراین چارچوب سومی ‌در نظر گرفته می‌‌شود که سه محور آن محورهای اصلی جسم صلب هستند.

به این ترتیب معادلات حرکت جسم صلب تنظیم می‌‌گردد و در مورد نحوه حرکت و تعادل جسم صلب بحث می‌‌شود. بدیهی است که در این حالت کمیتها به صورت تانسوری در نظر گرفته می‌‌شوند. به عنوان مثال ، اندازه حرکت خطی به صورت L = Iω بیان می‌‌شود که دراین جا I تانسور اینرسی است که نمایش آن به صورت یک ماتریس مربعی است و ω به صورت یک ماتریس ستونی می‌‌باشد. به خاطر پیچیدگیهای ریاضی از ارائه معادلات حرکت خودداری می‌‌شود.

حرکت دورانی با شتاب متغیر

اگر نیروی مؤثر در ایجاد حرکت دورانی در راستای شعاع حامل حرکت نباشد در این صورت حرکت دورانی کند شونده یا تند شونده خواهد بود، در حالی که نیروی در جهتی اثر کند که با پیشرفت متحرک در جهت مثبت دوران مخالف باشد حرکت دورانی کند شونده است.
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 جسم صلب

جسم صلب

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > مکانیک تحلیلی
(cached)

جسم صلب به سیستمی اطلاق می‌شود که شامل تعداد زیادی جرم نقطه‌ای به نام ذره است و فاصله هر دو جرم نقطه‌ای ثابت باقی می‌ماند، حتی اگر جسم حرکت کند یا تحت تاثیر نیروهای خارجی قرار داشته باشد.

دید کلی

پایه‌های نگهدارنده یک پل معلق باید آنقدر محکم باشند که بتوانند وزن پل و وسایل روی آن را تحمل کنند. تجهیزات مربوط به فرود هواپیما نباید به صورتی باشند که صورت بد فرود آمدن هواپیما در هم فرو ریختهو از بین برودیا دندانه‌های یک چنگال باید به گونه‌ای‌ باشد که موقع برداشتن یک تکه گوشت پخته با آنها خم نشوند. در تمام این موارد ، وسایلی که ذکر شد، هم از نوع جسم صلب هستند. بنابراین دنیای پیرامون ما پر از اجسام صلب است.

نیروی قیدی

آنچه به عنوان تعریف جسم صلب ارائه شد، یک تعریف ایده آلی است، چون اولا چیزی به نام جرم نقطه‌ای به معنی درست وجود ندارد، ثانیا هیچ جسمی با هیچ ابعادی دقیقا صلب نیست، زیرا تحت تاثیر نیروهای خارجی تغییر شکل پیدا می‌کند. با وجد این یک جسم صلب ایده‌آل در توصیف حرکت مفید واقع می‌شود و نیز انحرافهای فوق چندان مهم نیستند. به عنوان مثال اگر ابعاد مورد استفاده در مسئله از ابعاد ذره خیلی زیاد باشد، در این صورت تقریب جرم نقطه‌ای تقریب خوبی است.

در هر حال فرض می‌شود که در داخل جسم صلب نیروهایی وجود دارند که ذرات یا جرمهای نقطه‌ای را ثابت نگه می‌دارند. این نیروها را نیروهای داخلی ا نیروهای قیدی می‌نامند. نیروهای قیدی در درون جسم صلب به صورت زوج وجود دارند و به شکل کوی از قانون سوم نیوتن تبعیت می‌کنند. یعنی این نیروها دو به دو مساوی بوده و در جهات مختلف هم قرار دارند و لذا هیچگونه کاری در حرکت جسم صلب انجام نمی‌دهند. بنابراین قوانین بقای انرژی ، اندازه حرکت خطی و اندازه حرکت زایه‌ای برقرار است.

حرکت جسم صلب

در صورت حرکت جسم صلب فرض می‌شود که جسم از تعداد N نقطه‌ای تشکیل شده است. بنابراین با توجه به پیکربندی سیستم یک مرکز جرم تعریف می‌شود، به گونه‌ای فرض می‌شود، کلیه نیروها و گشتاور نیروهای خارجی که از بیرون بر سیستم اثر می‌کند، بر مرکز جرم وارد می‌شود. بنابراین مرکز جرم نماینده سیستم بوده و حرکت آن بیانگر سیستم است.

حرکت ورانی جسم صلب

همانگونه که برای توصیف حرکت انتقالی جسم صلب از مفهوم مرکز جرم استفاده شد، برای توصیف حرکت دورانی نیز کمیت جدیدی به نام لختی دورانی تعریف می‌کنیم. لختی دورانی عبارتست از مجموع حاصلضرب جرم تمام جرمهای نقطه‌ای در مربع آنها از محور دوران. بعد از تعیین مقدار لختی دورانی که با I نشان می‌دهند، به راحتی می‌توانیم انرژی جنبشی دورانی و اندازه حرکت زاویه‌ای را به راحتی تعیین می‌کنیم. سپس با معلوم بودن گشتاور نیروی وارد بر سیستم معادله حرکت جسم صلب حاصل می‌شود. البته در توصیف حرکت دورانی جسم صلب بسته به اینکه محور دوران ثابت با متحرک باشد، روش‌های توصیف متفاوت خواهد بود.

تعادل جسم صلب

برای بررسی تعادل جسم صلب باید کلیه نیروها و گشتاور نیروهایی را که در جسم می‌شوند، در نظر بگیریم. برای تعادل باید مجموع کل نیروهای خارجی وارد بر سیستم و نیز مجموع کل گشتاور نیروهای وارد بر سیستم صفر باشد. انواع حالت‌های تعادلی که می‌توان تصور کرد عبارتند از:

تعادل پایدار

اگر چنانچه جسم را اندکی از حالت تعادل خود منحرف کنیم، جسم بلافاصله به حالت تعادل برگردد، در این صورت تعادل را پایدار گویند. مانند تکه آجر مکعب شکلی که بر روی یک از وجوهش قرار دارد. البته اگر تنها نیروی وارد بر جسم صلب نیروی وزن آن باشد، در این صورت چون این نیرو یک نیروی پایستار است لذا می‌توانیم انرژی پتانسیل تعریف کنیم. بنابراین می‌توان گفت که اگر انرژی پتانسیل می‌نیمم مقدار خود را داشته باشد، تعادل پایدار است.

تعادل ناپایدار

در این حالت اگر جسم اندکی از حالت تعادل خود منحرف کنیم، جسم می‌افتد و لذا تعادل به هم می‌خورد. مانند ک آجر مکعب شکلی که بر روی یکی از رئوس خود قرار گرفته است. در این حالت نیز اگر تنها نیروی وارده ، نیروی وزن جسم صلب باشد، یا نیروهای وارده دیگر پایستار باشند، در این صورت انرژی پتانسیل بیشترین مقدار خود را خواهد داشت.

تعادل بی‌تفاوت

در این حالت همان گونه که از نامش روشن است، اگر جسم را اندکی از حالت تعادل خارج کنیم، هیچ فرقی نمی‌کند. به عنوان مثال می‌توان به یک آجر مکعبی شکلی که بر روی بزرگترین و جهش روی زمین قرار دارد.
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 مکانیک لاگرانژی

مکانیک لاگرانژی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > مکانیک تحلیلی
(cached)

اطلاعات اولیه

کاربرد مستقیم قوانین حرکت نیوتن برای حرکت سیستم‌های ساده راحت و آسان است. اما در صورتی که تعداد ذرات سیستم بیشتر شود، در این صورت استفاده از قوانین نیوتن کار دشواری خواهد بود. در این حالت از یک روش عمومی ، پیچیده و بسیار دقیق که به همت ریاضیدان فرانسوی ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده است، استفاده می‌شود. به این ترتیب می‌توان معادلات حرکت برای تمام سیستمهای دینامیکی را پیدا کرد. این روش چون نسبت به معادلات نیوتن حالت کلی تری دارد، لذا در مورد حالتهای ساده که با معادلات حرکت نیوتن به راحتی حل می‌شود، نیز قابل اعمال است.

مختصات تعمیم یافته

موقعیت یک ذره در فضا را می‌توان با سه سیستم مختصات مشخص کرد. این سیستمها عبارتند از سیستمهای کارتزین ، کروی و استوانه‌ای ، یا در حقیقت هر سه پارامتر مناسب دیگری که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در یک صفحه یا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه برای مشخص کردن موقغیت ذره نیاز است، در حالیکه اگر ذره روی یک خط مستقیم یا یک منحنی ثابت حرکت کند، ذکر یک مختصه کافی خواهد بود. اما در مورد یک سیستم متشکل از N ذره ، برای تشخیص کامل موقعیت همزمان تمام ذرات به 3N مختصه نیاز خواهیم داشت.

اگر محدودیتهای بر سیستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم برای مشخص کردن پیکربندی کمتر از 3N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سیستم مورد نظر یک جسم صلب باشد، برای مشخص کردن پیکربندی آن فقط به موقعیت مکانی یک نقطه مرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت یابی آن نقطه در فضا احتیاج داریم. بنابراین در حالت کلی برای مشخص کردن پیکربندی یک سیستم خاص ، احتیاج به تعداد حداقل معین n مختصه نیاز است. این مختصات را مختصات تعمیم یافته می‌گویند.

نیروی تعمیم یافته

در سیستم مختصات تعمیم یافته ، به جای نیروهایی که در مکانیک کلاسیک نیوتنی معمول است، مرتبط با هر مختصه نیرویی تعریف می‌شود که به نام نیروی تعمیم یافته معروف است. این کمیت که با استفاده از تعریف کار محاسبه می‌شود، به این صورت است که حاصل ضرب آن در مختصه تعمیم یافته دارای ابعاد کار است. بنابراین اگر مختصه تعمیم یافته دارای بعد فاصله باشد در این صورت این کمیت از جنس نیرو خواهد بود. در صورتیکه مختصه تعمیم یافته از نوع زاویه باشد، در این صورت این کمیت دارای بعد گشتاور خواهد بود. یعنی متناسب با نوع مختصه تصمیم یافته می‌تواند از جنس نیرو و یا گشتاور نیرو باشد.

معادلات لاگرانژ

برای بررسی حرکت یک سیستم در مکانیک لاگرانژی انرژی جبنشی و انرژی پتانسیل سیستم را تعیین می‌کنند. این کار به این صورت می‌گیرد که در مکانیک لاگرانژین در مورد هر سیستم دو کمیت جدید به نام‌های لاگرانژین و هامیلتونین تعریف می‌شود. لاگرانژین برابر تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی است. در صورتی که هامیلتون برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. در واقع می‌توان گفت که کار اصلی تعیین و محاسبه صحیح انرژی جنبشی و پتانسیل است.

سپس این مقادیر در معادله‌ای که به معادله لاگرانژ حرکت معروف است قرار داده می‌شود. معادله لاگرانژ ، معادله‌ای است که بر حسب مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به مختصات تعمیم یافته و نیز مشتق زمانی مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به سرعتهای تعمیم یافته نوشته شده است. به عبارت دیگر اگر تابع لاگرانژی را با L نشان دهیم و مختصات تعمیم یافته را با qk و سرعت‌های تعمیم یافته را با qk (که نقطه بیانگر مشتق زمانی مختصه تعمیم یافته qk است) نشان دهیم، معادلات لاگرانژ به صورت زیر خواهد بود:
در صورتی که نیروهای موجود در سیستم همگی پایستار نباشند، به عنوان مثال یک نیروی غیر پایستار مانند اصطکاک وجود داشته باشد در این صورت در طرف دوم معادلات لاگرانژ عبارت Qk که بیانگر نیروی تعمیم یافته غیر پایستار است، نیز اضافه می‌شود.

معادلات لاگرانژ برای تمام مختصات یکسان هستند. این معادلات ، روش یک نواختی برای بدست آوردن معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در انواع سیستم‌های ارائه خواهند داد.

اصل تغییرات هامیلتون

روش دیگر برای استنتاج معادلات لاگرانژ اصل تغییرات هامیلتونی است. در این حالت همانگونه که قبلا نیز اشاره شد در مورد هر سیستم کمیتی به نام تابع هامیلتونی تعریف می‌شود که برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. این اصل در سال 1834 توسط ریاضیدان اپرلندی ویلیام .ر. هامیلتون ارائه شد.

در این روش فرض می‌شود که یک تابع پتانسیل وجود دارد، یعنی سیستم تحت بررسی یک سیستم پایاست. ولی اگر تعدادی از نیروها نیز غیر پایستار باشد مانند مورد معادلات لاگرانژ می‌توان سهم این نیرو ها را نیز بطور جداگانه منظور کرد. یعنی در این حالت تابع هامیلتون برابر با مجموع انرژی جنبشی و کار انجام شده توسط تمام نیروها اعم از نیروهای پایستار و غیر پایستار است.

معادلات هامیلتون

معدلات هامیلتون از 2n معادله دیفرانسیل درجه اول تشکیل شده است. این معادلات بر حسب اندازه حرکت تعمیم یافته و مشتقات آن نوشته می‌شود. اندازه حرکت تعمیم یافته به صورت مشتقات تابع لاگرانژی نسبیت به سرعت تعمیم یافته تعریف می‌شود. بنابراین این معادلات زیر خواهند بود.


در عبارت فوق qk بیانگر سرعت تعمیم یافته است و علامت نقطه در بالای Pk (اندازه حرکت تعمیم یافته) بیانگر مشتق زمانی است. اگر معادلات هامیلتون را با معادلات لاگرانژی مقیسه کنیم ملاحظه می‌شود که تعداد اولین معادلات زیاد است. یعنی اگر سیستم V با N مختصه یافته مشخص شود، در این صورت معادلات هامیلتون شامل 2n معادله دیفرانسیل درجه اول هستند، در صورتیکه معادلات لاگرانژ از n معادله درجه دوم تشکیل شده است. بنابراین کار کردن با معادلات هامیلتون راحتتر است. معمولا در مکانیک کوانتومی‌ و مکانیک کاری از معادلات هامیلتون استفاده می‌شود.

 

|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 حرکت شتابدار

حرکت شتابدار

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > سینماتیک حرکت
(cached)



هرگاه سرعت اعم از مقدار یا جهت آن تغییر کند گوئیم حرکت شتابدار است.

دید کلی

راننده‌ای که سرعت اتومبیل او پس از 10 ثانیه از حالت سکون به 80km/h می‌رسد، در واقع شتاب اتومبیل یا تندی اتومبیل او تغییر یافته است. معمولا شتاب یا آهنگ تغییر تندی را به صورت تغییر کندی در یک ثانیه بیان می‌کنیم. با این بیان اتومبیلی که طی 10 ثانیه از حالت سکون به سرعت 10 ثانیه می رسد شتاب میانگین 8km/h دارد در کل سرعت اتومبیل با گاز دادن ، ترمز گرفتن یا فرمان برگرداندن تغییر می‌کند و گفته می‌شود که حرکت شتاب گرفته است.

شتاب متوسط

نسبت تغییرات سرعت به زمان را شتاب متوسط متحرک می‌نامند.



اگر نمودار تندی بر حسب زمان را در نظر بگیریم یک خط راست است و شیب برابر a است. واحد شتاب به واحدهایی بستگی دارد که برای بیان تغییر تندی و فاصله زمانی که در طی آن این تغییر صورت می‌گیرد بکار می رود، واحدها هر چه باشد، شتاب همواره بر حسب (زمانXزمان)/طول معین می‌شود. چون همواره مثبت است، علامت a همان علامت خواهد بود، شتاب مثبت معنی افزایش سرعت است، هر گاه تندی مثبت باشد و به معنی کاهش سرعت است، هر گاه تندی منفی باشد. بر عکس شتاب منفی به معنی کاهش سرعت است، هرگاه تندی مثبت باشد و به معنی افزایش سرعت است، هر گاه تندی منفی باشد.

شتاب لحظه‌ای

شتاب متحرک را در هر لحظه از زمان شتاب لحظه‌ای متحرک می‌نامند که برابر است با حد شتاب متوسط در صورتیکه ::

__



شیب خط مماس بر نمودار در هر لحظه با توجه به اینکه سرعت برابر است با مشتق نسبت به زمان و شتاب برابر است با مشتق تندی نسبت به زمان ، بنابراین شتاب برابر است مشتق دوم نسبت به زمان.

تعیین شتاب متوسط و لحظه‌ای با استفاده از نمودار سرعت زمان

اگر نمودار سرعت - زمان متحرکی معلوم باشد شتاب متوسط بین دو لحظه و برابر است با شیب قاطعی که نمودار را در این دو لحظه قطع می‌کند و شتاب لحظه‌ای در هر لحظه برابر است با شیب مماس بر نمودار در همان لحظه.

کاربردهای سطح محصور در حرکت

  • سطح محصور بین نمودار شتاب - زمان و محور زمان در هر فاصله زمانی برابر است با تغییرات سرعت متحرک در همان فاصله زمانی.

  • سطح محصور بین نمودار سرعت - زمان: جمع جبری مساحت محصور بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر فاصله زمانی برابر است با جابجایی یعنی و جمع قدر مطلق مساحت محصور برابر است با مسافت طی شده در همان فاصله زمانی.



img/daneshnameh_up/a/ae/are_acc.gif
نمودار حرکت با شتاب ثابت

حرکت با شتاب ثابت

به حرکتی گفته می‌شود که تغییرات سرعت در واحد زمان مقداریست ثابت ، یعنی در هر ثاینه مقدار ثابتی به سرعت افزوده شده یا از آن کاسته می‌شود که این مقدار ثابت شتاب حرکت است.

معادله سرعت - زمان

در هر حرکت شتابدار شتاب متوسط از رابطه بدست می‌آید، که در این حرکت چون شتاب ثابت است، پس شتاب لحظه ای با شتاب متوسط برابر است. اگر و مشخصات شروع حرکت و و مشخصات هر لحظه دلخواه t باشد می‌توان نوشت: .

معادله حرکت یا مکان - زمان

در حرکت با شتاب ثابت سرعت متوسط از رابطه بدست می‌آید. و می‌توان نتیجه گرفت که است.

جابجایی در ثانیه tام

در حرکت با شتاب ثابت جابجایی در ثانیه tام از رابطه زیر بدست می‌آید:



همچنین در حرکت مستقیم الخط با شتاب ثابت جابجایی متحرک در زمانهای مساوی و متوالی تشکیل یک تصاعد عددی را می‌دهد که قدر نسبت آن ( (شتاب حرکت) است.
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 مکانیک تحلیلی

مکانیک تحلیلی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > مکانیک تحلیلی
(cached)

مکانیک تحلیلی (Analitic mechanics)


فهرست مقالات مکانیک تحلیلی
مباحث علمی مباحث کاربردی و تجربی
مکانیک کلاسیک مختصات دکارتی
قوانین بنیادی حرکت مختصات قطبی
نیروی مرکزی مختصات قطبی کروی
اندازهحرکت خطی مختصات استوانهای
قضییه انرژی تحلیل حرکت موشک
نیروی به زمان وابسته زمان حرکت سیارات با جرم متغیر
نیروی وابسته به مکان سری فوریه
نیروی وابسته به سرعت قضییه سینوسها
نیروی ثابت قضیه گرین
الکترون در میدان الکتریکی جبر برداری
نیروی پایستار قضییه کسینوسها
جسم افتان آونک ساده
نوسانگر هماهنگ ساده آونگ مرکب
نوسانگر هماهنگ واداشته آونگ پیچشی
حرکت ذره در میدان مرکزی آونگ فیزیکی
معادلات حرکت نیروی مرکزی حرکت نسبی مختصات
حرکت سیارات و ستارگان سیستم مختصات چرخان
مدارات کپلر آونگ فوکو
مدارات رادرفورد قضییه لارمور
ذره در میدان الکترومغناطیسی آونگ کروی
حرکت در صفحه قضیه لیوویل
حرکت در فضا دستگاه با جرم متغییر
سینماتیک گلوله نوسانگر جفت شده
الکترون در میدان دو پروتون حرکت دورانی جسم صلب
تحلیل حرکت انتقالی حرکت انتقالی جسم صلب
تحلیل حرکت دورانی استاتیک اجسام صلب
قضییه تکانه زاویهای استاتیک سازه
معادلات انرژی پتانسیل تنش و طول نسبی
تحلیل انرژی پتانسیل تعادل ریسمان
حرکت سیستم ذرات تعادل تیر جامد
تعادل سیالات مکانیک محیطهای پیوسته
قوانین بقای حرکت انتشار موج در ریسمان
حالات نقض قوانین بقا حرکت فرقره متقارن
سیستم دو جسمی حرکت زیروسکوپ
جسم صلب حرکت فرفره
ممان اینرسی نیروی کشسانی فنر
ضربه نیرو جرم کاهیده
نیروی کویولیس مرکز ضربه آونگ مرکب
نیروی اینرسی مسیر ستاره دنباله دار
سیستم سه جسمی اسپکتروگراف جرمی
تحلیل ریسمان مرتعش مکانیک طراحی چکش
معادلات لاگرانژی دوران زمین و سقوط آزاد
لاگرانژین
نیروی تعمیم یافته
تکانه خطی تعمیم یافته
تکانه زاویهای تعمیم یافته
انزژی تعمیم یافته
نیروی الکترومغناطسیی
پتانسیل وابسته به سرعت
معادلات هامیلتون
هامیلتونین
بیضوی ماند
مخروط جسم
مخروط فضا
زوایای اویلر
تابع هامیلتونی
معادلات حرکت اویلر
برخورد فیزیکی
خواص نیروی پایستار
ویژگی اجسام صلب
مکانیک لاگرانژی
معادله قیدی
قیود تحلیلی

نگرش کلی

مکانیک تحلیلی همانگونه که از نامش بر می‌آید ، شاخه‌ای از علم گسترده فیزیک است که به تجزیه و تحلیل حرکت سیستم‌های مختلف می‌پردازد‌. در مکانیک کلاسیک حرکت در حالت کلی مورد بحث قرار می‌گیرد. و کمتر به ریزه‌کاریهای موجود در حرکت پرداخت می‌شود. به عنوان حرکت یک دستگاه چند ذره‌ای به طور کامل جرمی می‌شود ، در صورتیکه در مکانیک کلاسیک بیشتر حرکت تک ذره و در نهایت سیستم دو یا سه ذره‌ای مورد بحث قرار می‌گیرد. مکانیک تحلیلی جهت آماده سازی برای کار پیشرفته در فیزیک جنبه اساسی دارد‌. یکی از اهداف مکانیک تحلیلی تحریک حس کنجکاوی در خواننده است به گونه‌ای که او را به فکر کردن درباره پدیده‌های فیزیکی در قالب عبارات ریاضی آماده می‌کند و زمینه‌ای برای درک عمیق اصول اساسی مکانیک ایجاد می‌کند. هدف فرا گرفتن مکانیک ، باید این باشد که شئی تقریبا به همان اندازه شهودی برای بیان ریاضی مسائل فیزیکی و همچنین برای تغییر فیزیکی جوابهای ریاضی در خواننده پدید آید.

سیر کلی مطالب در مکانیک تحلیلی


ابتدا مفاهیم اساسی مکانیک و قوانین مکانیک و ثقل به زبان ریاضی بیان می‌شوند. سپس مساله حرکت در فضای یک بعدی به طور کامل تشریح می‌گردد. و حرکت نوسانگر هماهنگ به عنوان مهمترین مثال حرکت تک بعدی بررسی می‌شود، که در این بررسی اعداد مختلف برای نمایش کمیت‌های نوسانی استفاده می‌شود. بنابراین یک توصیف اولیه‌ای از مکانیک به وجود می‌آید.

در این مرحله جبر برداری به عنوان یک ابزار بسیار قوی در بیان مسائل مکانیک و کاربرد آن در مکانیک مورد برسی قرار می‌گیرد. و بنابراین حرکت به حالت‌های دو بعدی و سه بعدی تقسیم می‌شود. به این ترتیب پایه‌های لازم برای مطالعه حرکت سیستم‌های مختلف پی ریزی می‌گردند. در نهایت به مطالعه پیشرفیه تر نظیر مکانیک محیط های پیوسته ، مکانیک لاگرانژی و نظریه ارتعاشات کوچک پرداخت می‌شود.

مزایا مکانیک


مکانیک علم دقیقی است، یعنی علمی است که قوانین آن به صورت معادلات ریاضی بیان می‌شوند که نتایج اندازه گیریهای کمی دقیق را بیان و پیشگویی می‌کند. برتری نظریه‌های کمی فیزیک فقط در جنبه علمی آنها هست که ما را قادر می‌سازد که پدیده‌های طبیعی را با دقت پیش بینی و کنترل می‌کنیم. از مقایسه نتایج حاصل از اندازه گیریهای دقیق با پیش بینی‌های عددی نظریه می‌توانیم به میزان قابل ملاحظه‌ای از صحت نظریه اطمینان حاصل کنیم، یا معلوم داریم که از چه نظر محتاج اصلاح است.

اغلب می‌توان پدیده فیزیکی داد. نقدی را به چند روش کیفی تفریبی توضیح داد و اگر به این روش‌ها قانع باشیم
چه بسا تشخیص نظریه صحیح مقدور نباشد، ولی اگر بتوان نظریه‌ای پدید آورد که نتایج حاصل از ندازه گیری‌ها را تا چهار یا پنج ( حتی دو یا سه ) رقم معنی دار تقریب پیش بینی کند، آن نظریه نمی واند چندان ناصحیح باشد. توافق تقریبی ممکن است فقط تصادفی باشد، ولی توافق نزدیک به کمال محال است ، چنین باشد. از این گذشته موارد بسیاری در تاریخ علوم بوده است که اختلافهای کوچک اما مهم میان نظریه و نتایج حاصل از اندازه گیری‌های دقیق باعث به وجود آمدن نظریه‌های تازه و پر دامنه تری شده‌اند. حال آن که اگر فقط به توضیح کیفی پدیده‌ها قانع می‌بودیم، نمی‌توانستیم حتی به وجود چنین اختلافهای پی ببریم.

تاریخچه

از نظر تاریخی ، مکانیک اولین شاخه از فیزیک است که به صورت علمی دقیق توسعه یافت. دانشمندان یونانی در قرن سوم قبل از میلاد مسیح با قوانین اهرم‌ها و سیالات در حال تعادل استاتیکی آشنا بودند. گسترش شگرف فیزیک در دو سه قرن اخیر با کشف قوانین مکانیک توسط گالیله و اسحاق نیوتن شروع شد. قوانین مکانیک چنان که توسط اسحاق اسحاق نیوتن در اواسط قرن هفدهم ، و قوانین الکترسیته و مغناطیس که توسط ماکسول در حدود دویست سال بعد به زبان ریاضی بیان شدند ، دو نظریه اساسی فیزیک کلاسیک به شمار می‌رود.

فیزیک نسبیت که با کار اینیشتن شروع شد و فیزیک کوانتوم که بر اساس کارها یزنبرگ و شدودنیگر استوار بود اصلاح و بیان تازه قوانین مکانیک و الکترودینامیک را بر حسب مفاهیم فیزیکی جدید ایجاد می‌کرد. با این همه فیزیک جدید بر پایه‌های ساخته شده که توسط فیزیک کلاسیک بنا گردیده است و درک روشن اصول مکانیک و الکترودینامیک کلاسیک هنوز هم برای آموختن فیزیک نسبیت و کوانتم دارای اهمیت اساسی است. به علاوه قوانین مکانیک هنوز هم در اکثر کاربرد‌های علمی مکانیک در رشته‌های مهندسی و نجوم قابل اعمالند. مگر در مواردی که اجسام با سرعت‌هایی نزدیک به سرعت نور حرکت می‌کنند و یا هنگامی که اجرام یا فواصل عظیم در کار باشند.

تقسیم بندی مکانیک

مکانیک ، علم حرکت اجسام مادی است و می‌توان آن را به سه شاخه سینماتیک ، دینامیک و استاتیک تقسیم کرد. سینماتیک برسی و تشریح حرکات ممکن اجسام مادی است. دینامیک برسی قوانینی است که معین می‌کند از میان حرکات ممکن ، کدام مورد در هر حرکت اتفاق می‌افتد. در دینامیک است که مفهوم نیرو وارد می‌شود.
مسئله اصلی دینامیک این است که برای هر دستگاه فیزیکی ، حرکاتی را که تحت تاثیر نیروهای داده شده بوجود می‌آید مشخص کند. استاتیک برسی نیروها و دستگاههای نیروها است.

تقسیم بندی مکانیک بر حسب نوع دستگاه فیزیکی

همچنین می‌توان مکانیک را بر حسب نوع دستگاه فیزیکی مورد برسی ، تقسیم کرد . ساده ترین دستگاه فیزیکی ، یک تک ذره است. سپس حرکت دستگاهی از ذرات را مطالعه خواهیم کرد. جسم صلب را می‌توان نوع خاصی از دستگاه ذرات دانست‌. و در نهایت حرکت محیط‌های پیوسته و مواد الاستیک و پلاستیک (کشوار و ناکشوار) و جاٍ
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 آونگ ساده

آونگ ساده

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک
(cached)



آونگ ساده دستگاه ایده‌آلی است، شامل جرم نقطه‌ای که توسط یک نخ سبک و غیر قابل کشش آویزان شده است. هر گاه آونگ را از موضع تعادلش به یک طرف بکشیم و سپس رها کنیم، آونگ در اثر نیروی گرانش در یک صفحه قائم شروع به نوسان می‌کند.




دید کلی

حرکت تناوبی و نوسانی یکی از مهمترین انواع حرکت می‌باشد. اهمیت این حرکت به دلیل کاربرد آن در مطالعه ساختار اتمها می‌باشد. آونگ ساده ، یک مثال ساده است که برای توصیف حرکتها مورد استفاده قرار می‌گیرد. در زندگی روزمره نمونه‌های زیادی از نوع آونگ ساده وجود دارد. به عنوان مثال ، می‌توان به ساعتهای شماته‌دار قدیمی اشاره کرد که معمولا در بعضی از خانه‌های قدیمی ، هنوز هم مورد استفاده قرار می‌گیرد.



تصویر




حرکت آونگ ساده

کل سیستم آونگ ساده را که از نخ و جسمی به جرم m تشکیل شده است، می‌توان به عنوان یک جسم صلب تلقی کرد. جرم را بوسیله نخ از جایی آویزان می‌کنیم، وقتی که جرم m را از حالت قائم اندکی منحرف کنیم، جسم در روی قوسی از یک دایره ، به راست و چپ حرکت می‌کند. حرکت آونگ با یک حرکت دایروی در یک صفحه قائم حول محوری که از نقطه آویز آونگ گذشته و بر صفحه مذبور عمود است، هم ارز می‌باشد.

محدودیتهای حرکت آونگ ساده

همانطوری که در تعریف آونگ ساده ذکر شد، فرض می‌کنیم نخ آونگ ساده سبک و غیر قابل کشش است. به گونه‌ای که جرم نخ بسیار ناچیز بوده و لذا حرکت آن مورد توجه قرار نمی‌گیرد و نیز فرض می‌کنیم که در اثنای حرکت ، طول نخ آونگ ثابت باقی می‌ماند، چون در غیر این صورت نمی‌توان کل سیستم آونگ را به عنوان یک جسم صلب در نظر گرفت.

مشخصات حرکت آونگ ساده

معادله حرکت آونگ ساده

اگر حرکت آونگ ساده در صفحه xy صورت گیرد، در این صورت فرض می‌کنیم که محور x در امتداد قائم (نخ آونگ) و محور y به صورت افقی باشد، همچنین مبدا مختصات را منطبق بر جسم با جرم m که از آونگ آویزان است، فرض می‌کنیم. حال اگر تمام نیروهای موجود را که شامل نیروی کشش نخ آونگ و نیروی وزن جرم متصل به نخ است، در این دو امتداد تجزیه کنیم، با فرض این که میزان انحراف از حالت قائم به حدی کوچک است که می‌توان از تقریب استفاده کرد، در این صورت معادله حرکت آونگ ساده بر حسب ، زاویه انحراف ، به صورت زیر خواهد بود:



در رابطه فوق زاویه انحراف ، g شتاب گرانش و l طول آونگ است. با استفاده از قوانین معادلات دیفرانسیل به راحتی می‌توان معادله فوق را حل کرد.

فرکانس و دوره تناوب

اگر چنانچه معادله حرکت آونگ ساده با معادله حرکت نوسانگر هماهنگ ساده مقایسه کنیم، ملاحظه می‌شود که این معادله درست مانند نوسانگر هماهنگ ساده است. بنابراین با مشابهت این دو معادله در می‌یابیم که کمیت برابر می‌باشد، که ω در فرکانس زاویه‌ای چرخش است و چون رابطه بین دوره تناوب (T) و فرکانس زاویه‌ای ()، به صورت می‌باشد، بنابراین رابطه دوره تناوب چرخش آونگ ساده برحسب طول آونگ و شتاب گرانش زمین (g) ، به صورت خواهد بود. فرکانس نیز عکس دوره تناوب می‌باشد.



تصویر




دلیل کوچک فرض کردن

دیدیم که معادلات فوق با فرض این که ، زاویه انحراف آونگ از حالت قائم کوچک باشد، حاصل شد. در این صورت است که می‌توانیم از تقریب استفاده کنیم. اگر چنانچه این شرط برقرار نباشد، در این صورت زمان تناوب طولانی‌تر خواهد بود. در واقع رابطه دوره تناوب به صورت یک سری توانی خواهد بود که برحسب توانهای بسط داده می‌شود
|+| نوشته شده توسط البرت در چهارشنبه دوم اسفند 1385  |
 
 
بالا